NỘI DUNG SÁNG KIẾN

NỘI DUNG SÁNG KIẾN

I. Thực trạng của giải pháp đã biết
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại
ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Mục tiêu của giáo dục trong thế kỉ
21 là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình. Chính vì thế
vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là rất cần thiết.
Toán học có vai trò quan trọng không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ
thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối
cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán
học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên.
Để đáp ứng được những đòi hỏi càng cao của nền kinh tế tri thức và sự phát triển của
khoa học chúng ta phải dạy cho học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức thông qua các trải
nghiệm thực tế, gắn bài học với thực tế cuộc sống làm cho bài giảng thêm sinh động, lí thú.
Qua đó có thể tạo ra những con người lao động tự chủ, năng động, sáng tạo và có năng lực
để đáp ứng được những yêu cầu về nguồn lực nhằm thúc đẩy cho mục tiêu phát triển kinh tế
- xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học toán ở trường THPT phải luôn
gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống.
Như vậy, trong giảng dạy bộ môn toán nếu muốn tăng cường rèn luyện cho học sinh
năng lực ứng dụng toán học thì cần phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng. Trong đó ứng
dụng vào thực tiễn cần đặc biệt chú ý thường xuyên. Góp phần làm cho toán học không trừu
tượng và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số
vấn đề trong cuộc sống và ngược lại, Từ đó càng làm nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với
hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường
kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “ Hệ thống
một số bài toán ứng dụng thực tế sử dụng các kiến thức trong chương trình dạy học
Toán Lớp 11 (tập 1, bộ sách Chân trời sáng tạo)”.
II. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến
1. Mục đích của giải pháp
Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn vận dụng các
bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn toán 11 tập 1 (Bộ sách CTST).
Phân tích và hướng dẫn giải các bài toán có nội dung thực tiễn đã được đưa vào giảng
dạy trong chương trình toán THPT. Hệ thống bài tập được lựa chọn kĩ càng có phân chia mức
độ phù hợp với nội dung giảng dạy trên lớp. Giúp học sinh thành thạo trong việc tư duy logic
sử dụng kiến thức học được vận dụng giải quyết các bài toán thức tế trong đời sống, không còn
rụt rè e ngại mỗi khi giải quyết bài toán thực tiễn. Giúp đồng nghiệp có thêm nguồn tài liệu bổ
ích góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.
Trước thực trạng:
Thứ nhất, do ảnh hưởng trực tiếp của sách giáo khoa và tài liệu tham khảo: Số lượng
bài tập mang nội dung thuần túy Toán học cũng như kiến thức dành cho mỗi tiết học là khá
nhiều đã khiến nhiều giáo viên vất vả trong việc hoàn thành kế hoạch bài dạy; Số lượng,
chất lượng và quy mô bài toán ứng dụng vào thực tiễn còn ít ở các chủ đề môn Toán trong
giảng dạy. Một lý do nữa là do khả năng liên hệ kiến thức Toán học vào thực tiễn của của
giáo viên Toán còn gặp nhiều khó khăn.

2

Thứ hai, do yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tế không được đặt ra một cách thường
xuyên và cụ thể trong kiểm tra đánh giá, lối dạy phục vụ thi cử như hiện nay cũng là một
nguyên nhân góp phần tạo nên thực trạng này. Ngoài ra có thể kể đến một nguyên nhân
khác nữa: Trong chương trình và quá trình đào tạo ở các trường đại học và cao đẳng sư
phạm, việc đưa "ứng dụng" vào (trong giáo trình, trong đánh giá, trong dạy học,...) cũng
chưa được đồng bộ và xuyên suốt. Do đó ảnh hưởng trực tiếp đến tiềm năng dạy các vấn
đề ứng dụng Toán học của các thầy giáo, cô giáo.
Như vậy, việc tăng cường rèn luyện cho học sinh ứng dụng Toán học vào thực tiễn đã
được coi là một trong những quan điểm chỉ đạo xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học Toán
theo chương trình phổ thông mới, được nhấn mạnh trong dự thảo chương trình cải cách
giáo dục môn Toán. Tuy nhiên, trên thực tế (sách giáo khoa, thực tế dạy học, trong đánh
giá, ...) quan điểm này vẫn chưa được thực hiện một cách cân đối.
Giải pháp ở đây là:
Giáo viên phải xác định nội dung kiến thức, lựa chọn đâu là các vấn đề cần tập trung
thảo luận trên lớp, đâu là những vấn đề yêu cầu học sinh tự học sách và tự tìm hiểu. Từ đó,
tập trung giải quyết vấn đề chính then chốt. Vấn đề tương tự, không trọng tâm học sinh
phải tự học và nghiên cứu thêm.
Giáo viên xác định trọng tâm kiến thức và xâu chuỗi thành các bài toán thực tế một
cách tổng quát, đặt yêu cầu để học sinh thảo luận theo nhóm và hệ thống tổng kết các kiến
thức cần lĩnh hội.
Việc giải các bài toán thực tế thường phức tạp hơn các bài toán thuần tuý, đòi hỏi học sinh
phải tư duy logic, phân tích vấn đề và áp dụng kiến thức để tìm ra giải pháp. Tùy theo từng bài,
giáo viên có thể kết hợp công nghệ thông tin, bảng phụ, phiếu học tập, hoặc cho học sinh
chuẩn bị trước ở nhà thuyết trình trước lớp...để có thể tiết kiệm được thời gian và tập trung
thời gian cho học sinh thảo luận, phát biểu ý kiến.
2. Nội dung của giải pháp
2.1. Vấn đề bài toán có nội dung thực tế trong chương trình và sách giáo khoa phổ
thông
Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 ở lớp 11 đặc biệt chú trọng tăng cường
các bài toán thực tế. Việc tăng cường các bài toán thực tế có nhiều lợi ích quan trọng, giúp học
sinh áp dụng kiến thức Toán học trong cuộc sống hằng ngày. Điều này giúp học sinh hiểu rõ hơn
về ý nghĩa và tầm quan trọng của việc học Toán cũng như khắc sâu tri thức đã học.
Một số nội dung quan trọng trong cải cách nội dung và phương pháp dạy học Toán
như:
- Chương trình và SGK Toán thể hiện được tinh thần của toán học hiện đại.
- Chương trình và SGK Toán quán triệt tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp, chuẩn bị cho
học sinh có ý thức và kỹ năng liên hệ học với hành, có tiềm lực để trở thành người công
nhân lành nghề, người quản lí kinh tế tốt.
2.2. Những quan điểm về vấn đề xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
Trong mục này, sáng kiến sẽ đưa ra những quan điểm cho việc hệ thống bài tập có nội
dung thực tiễn trong giảng dạy Toán ở trường THPT - với chủ ý làm đậm nét hơn nữa các
ứng dụng của Toán học vào thực tiễn. Những quan điểm sáng kiến đưa ra sẽ nhằm vào tính
mục đích, tính khả thi, tính hiệu quả của việc hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong
giảng dạy Toán ở trường THPT.

3

- Mục đích của hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được xác định dựa trên cơ sở
những mục đích chung của giáo dục Toán học, có chú ý đến những đặc điểm cụ thể của hệ
thống. Mục đích của hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn liên quan chặt chẽ, phụ thuộc
và phục vụ cho việc thực hiện các mục đích dạy học Toán ở nhà trường. Mục đích của hệ
thống bài tập có nội dung thực tiễn với ý nghĩa ứng dụng rõ rệt, thông qua quá trình rèn
luyện cho học sinh khả năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, đồng
thời góp phần tích cực để thực hiện tốt và toàn diện các nhiệm vụ dạy học Toán ở trường
THPT.
- Tính khả thi của hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả năng thực
hiện được (xây dựng được, sử dụng được) hệ thống bài tập này trong thực tế dạy học ở
trường THPT Việt Nam hiện nay. Tính khả thi của việc sử dụng hệ thống bài tập có nội
dung thực tiễn phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, sách giáo khoa, kế hoạch dạy
học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ nhận thức chung của học sinh, khả năng và trình
độ thực hiện của giáo viên, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các
bài tập, ... Một giải pháp khả thi là giải pháp thoả mãn một cách đầy đủ và hài hoà các yếu
tố trên.
- Tính hiệu quả của việc hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán
được hiểu là sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trong việc giải các bài tập có nội
dung thực tiễn của học sinh, hình thành và phát triển ở học sinh thói quen và hứng thú vận
dụng kiến thức Toán học vào các tình huống trong học tập, lao động sản xuất và trong đời
sống. Tính hiệu quả phụ thuộc vào hệ thống bài tập (nội dung, mức độ, số lượng, ...) cũng
như các biện pháp sử dụng hệ thống bài tập này trong thực tế giảng dạy ở trường THPT.
Một trong những đặc điểm nổi bật của các khoa học là sự gia tăng vai trò của Toán
học, hay nói cách khác, là sự "Toán học hóa" các khoa học khác một cách sâu sắc và rộng
rãi. Toán học không phải chỉ là một lĩnh vực nhất định của tri thức mà còn là một phương
pháp, là một dạng nhất định của nhận thức khoa học, nó góp phần xây dựng chính xác các
khoa học. Trong thực tế Toán học chỉ ra rằng, phương pháp toán học hóa các kiến thức
khoa học tăng cường mối quan hệ lẫn nhau và tính thống nhất của tri thức khoa học hiện
đại đang được phân chia mạnh mẽ, làm phong phú và sâu sắc thêm những dạng phản ánh
thực tiễn. Vì thế, sự toán học hóa các khoa học giúp hiểu đúng hơn tự nhiên xã hội và góp
phần thúc đẩy nhanh tiến bộ khoa học kỹ thuật.
2.3. Phương án xây dựng hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn
Những quan điểm và tiềm năng của một số chủ đề trong việc rèn luyện cho học sinh
năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn sẽ là cơ sở quan trọng của việc xây dựng
hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
Hệ thống bài tập là một tập hợp các bài tập được xây dựng có định hướng, có liên hệ với
nhau bởi ba quan hệ chủ yếu: Quan hệ mục tiêu đào tạo, quan hệ nội dung Toán học, quan hệ
trình độ phát triển tư duy. Theo quan niệm đó, hệ thống các bài tập có nội dung thực tiễn gồm
những bài tập nhằm chủ ý rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng sẵn sàng ứng dụng Toán
học vào thực tế.
Thành phần quan trọng trong hệ thống bài tập này là những bài toán ở những chủ đề có
nhiều tiềm năng trong việc khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn như: Hàm số lượng
giác và phương trình lượng giác; Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân; Quan hệ song song trong
không gian. Sáng kiến chú ý khai thác triệt để các lợi thế này, một mặt nhằm thể hiện sự

4

phong phú và đa dạng của các bài toán, mặt khác thể hiện vai trò quan trọng của Toán học
trong thực tiễn.
Các thành phần trên có tác dụng hỗ trợ nhau tạo thành hệ thống bài tập có nội dung
thực tiễn của chương trình Toán 11 học kì 1, góp phần tích cực trong việc rèn luyện cho
học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Những chủ đề có nhiều tiềm
năng sẽ khai thác được nhiều bài tập có nội dung phong phú và đa dạng. Đặc biệt, kiến tạo
được các bài toán ở những mức độ khác nhau, phù hợp cho dạy học sinh đại trà cũng như
học sinh khá, giỏi. Những bài toán ở những chủ đề giàu tiềm năng này kết hợp với các bài
toán ở các chủ đề khác làm cho hệ thống bài tập thêm phong phú, đa dạng, ứng dụng được
trong nhiều trường hợp và mức độ khác nhau của quá trình nhận thức. Hệ thống bài tập
được thiết kế theo trình tự các chủ đề kiến thức của chương trình Toán 11 tập 1 (Bộ sách
Chân trời sáng tạo).
Sự phân tích, bình luận sau mỗi bài toán hoặc sau mỗi chủ đề kiến thức sẽ chỉ rõ bài
toán được sử dụng vào lúc nào, chương mục nào là phù hợp. Cộng với mỗi bài toán được
phân mức độ sẽ giúp giáo viên dễ dàng lựa chọn bài toán cho từng hoạt động trong mỗi tiết
dạy.

HỆ THỐNG BÀI TẬP CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN
Chủ đề 1: Các bài toán về Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác
Bài 1: (TH) Bạn An được giao một tấm bìa hình tròn có bán kính
R = 4cm
và được yêu cầu cắt đi một phần của hình tròn có số đo
30
. Nhưng bạn An không có thước đo độ mà chỉ có thước dây đo độ
dài. Hỏi bạn An cần cắt đi một cung tròn có độ dài bao nhiêu?

Lời giải

Ta có
30 rad
6

 =

nên độ dài cung tròn An cần đo dây để cắt là

. 4. 2,09 cm
6
l R 
= =   .

Bài 2: (VD) Trong hình vẽ dưới đây, mâm bánh xe gắn
máy được chia thành 10 phần bằng nhau. Viết công thức
số đo tổng quát của góc lượng giác

(Ox ON , ).

Lời giải

Vì mâm bánh xe gắn máy được chia thành 10 phần
bằng nhau nên mỗi phần sẽ có số đo góc là
360 :10 36  =  . Góc
MON
chiếm 3 phần nên có số đo góc

là
3.36 108  = .
Khi đó
xON MON xOM = − = −  =  108 60 48 .
Do đó số đo tổng quát của góc lượng giác

(Ox ON , ) = −  +   48 360 , k k .

Bài 3: (VD) Trong một buổi biểu diễn xiếc, người nghệ sĩ đạp xe theo mép của một sân
khấu hình tròn có bán kính
R = 5m
. Sau một lúc từ khi bắt đầu đạp thì xe giữ được vận tốc

không đổi là
300m
trong 1 phút. Hỏi tính từ khi vận tốc không đổi nghệ sĩ xiếc đạp xe

được góc
120
(góc nhìn tâm sân khấu) hết bao nhiêu thời gian?

5
Lời giải

Ta có:
2
120 rad
3

 =

Chiều dài cung tròn mà nghệ sĩ đạp xe ứng với góc
120
là:
2 10 . 5.
3 3
l R m  
= = =  .

Vận tốc của xe đạp là
300m
/ phút nghĩa là
5 / m s
. Thời gian nghệ sĩ xiếc đạp xe hết góc

120
là:
10 2 :5 1,047
3 3

s
 
=  .

* Để giải quyết ba bài toán 1, 2, 3 cần hiểu và nắm vững các kiến thức về góc lượng
giác, đặc biệt là công thức đổi độ ra rad và công thức tính độ dài cung tròn. Bài tập mang
tính chất tổng hợp nội dung bài 1: Góc lượng giác, chương 1 Toán 11 tập 1 (CTST). Vì vậy
ba bài toán này có thể dùng để luyện tập củng cố bài 1.
Bài 4: (VDC) Vị trí cabin mà Bảo và Cao ngồi trên
vòng quay được đánh dấu với điểm
B
và
C
như hình

bên. Gọi

là số đo của góc lượng giác tia đầu
OA
và

tia cuối
OB , 
là góc tạo bởi tia đầu
OA
và tia cuối

OC
. Khi điểm
B
cách mặt đất
4m
thì điểm
C
cách

mặt đất bao nhiêu mét?

Lời giải

Chiều cao từ điểm
B
đến mặt đất là

KH = + 13 10sin . 

Khi

( )
9 9 4 13 10sin 4 sin os 90
10 10
o KH c =  + =  = −  − = −    ,
Ta lại có:

( )
9
90 cos cos 90
10
o o     = −  = − = − .
2
9 19 sin 1
10 10



 
= − − − = −    
Tương tự điểm
B
, điểm
C
cách mặt đất là:

13 10sin 8,64 +   m .

* Để giải quyết bài toán 4 cần hiểu và nắm vững các kiến thức trong nội dung bài 2:
Giá trị lượng giác của một góc lượng giác, chương 1 Toán 11 tập 1 (CTST), đặc biệt là
công thức hai góc hơn (kém)
2

. Vì vậy bài toán này có thể sử dụng trong hoạt động mở

rộng kiến thức khi dạy bài mới.
Bài 5: (VDC) Trong Vật lý, phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm
t

giây được cho bởi công thức

x t A t ( ) = + cos( )

, trong đó
x t cm ( ) ( )

là li độ của vật tại thời

điểm
t , A
là biên độ dao động
( A  0)
và
    − ; 

là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

6

1 ( ) 2cos ( )
3 6
x t t cm    
= +    
và
2 ( ) 2cos ( )
3 3
x t t cm    
= −    
a) Xác định phương trình của dao động tổng hợp

x t x t x t ( ) = + 1 2 ( ) ( )
;
b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.
Lời giải

a) Ta có dao động tổng hợp

( ) 1 2 ( ) ( ) 2cos 2cos
3 6 3 3
x t x t x t t t        
= + = + + −         ( ) 2 2cos cos

3 12 4
x t t     
 =  −     ( ) 2 2 cos
3 12
x t t    
 = −    

Vậy dao động tổng hợp có phương trình là

( ) 2 2 cos
3 12
x t t    
= −    

b) Dao động tổng hợp trên có biên độ dao động là
A = 2 2
và pha ban đầu là
12

 = − .
* Để giải quyết bài toán này cần hiểu và nắm vững các kiến thức trong nội dung bài 3:
Các công thức lượng giác của một góc lượng giác, chương 1 Toán 11 tập 1 (CTST). Bài
toán này có thể nêu ra ở hoạt động khởi động nhằm giúp học sinh định hướng được nội
dung bài học và giải quyết trình bày lời giải cụ thể ở hoạt động vận dụng.
Bài 6: (VD) Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu
h
(mét)

của mực nước trong kênh tính theo thời gian
t
( giờ) được cho bởi công thức

3cos 12
6 3
t

h
   
= + +    

. Tìm thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh là cao nhất.

Lời giải

Ta có:
1 cos 1
6 3
t
   
−  +         9 15 h

. Do đó mực nước cao nhất của kênh là
15m
đạt

được khi

cos 1
6 3
t
   
  + =   2
6 3
t k  
 + =   = − + t k 2 12

Vì
0 24  t   − +  0 2 12 24 k

1 13
6 6
   k

Chọn số
k
nguyên dương nhỏ nhất thoả

1 13
6 6
  k
là
k t =  = 1 10
(giờ).

Bài 7: (VDC) Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu
từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim
và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm
giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm
thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm
trương. Chỉ số huyết áp
120/ 80
là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó

được mô hình hóa bởi hàm số:

p t t ( ) = + 115 25sin 160 (  ).

Trong đó
p t( )
là huyết áp tính theo đơn vị
mmHg
(milimét thủy ngân) và thời gian
t

tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số
p t( )
;
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút;
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.

7
Lời giải

a) Chu kì của hàm số
p t( )
là
2 1
160 80
T


= =
b) Thời gian giữa hai lần tim đập là:
1
80
T =
(phút).

Số nhịp tim mỗi phút là:
1
1: 80
80
=
nhịp.

c) Ta có:

−     1 sin 160 1, ( t t )
 −     25 25sin 160 25, ( t t )
 + −  +  +   115 25 115 25sin 160 25 115, ( ) ( t t )
     90 140, p t t ( )
Do đó, chỉ số huyết áp của người này là
140
90
và chỉ số huyết áp của người này cao hơn

mức bình thường.
* Để giải quyết hai bài toán 6 và 7 này cần hiểu và nắm vững các kiến thức trong nội dung
bài 4: Hàm số lượng giác, chương 1 Toán 11 tập 1 (CTST). Hai bài toán này có thể dùng
khi luyện tập bài 4.
Bài 8: (VD) Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương
trình

2
3
x t 3cos  
= −    

. Ở đây, thời gian
t
tính bằng giây và quãng đường
x
tính bằng
centimét. Hãy cho biết trong thời gian từ 0 đến 30 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu
lần?

Lời giải

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó
x = 0 .

Xét phương trình

0
3
3cos 2t
  
  − =
 

ta có:

5
3cos 2 0 cos 2 0 2 ,
3 3 3 2 2 12
t t t k t k k      



        − =  − =  − = +  = +     
.

Trong thời gian từ 0 đến 30 giây, tức là
0 30  t
hay
5
0 30
12 2
k
 
 +  360
6 6
5 5
k



−  −   .
Mà
k 
nên
k 0;1;2;3;...;17;18 .

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 19 lần.
* Để giải quyết bài toán này cần hiểu và nắm vững các kiến thức trong nội dung bài 5:
Phương trình lượng giác, chương 1 Toán 11 (CTST). Bài toán này có thể đưa vào hoạt
động khởi động nhằm xây dựng được phương trình lượng giác và hoàn thiện lời giải ở
hoạt động tìm tò mở rộng của bài học.

Chủ đề 2: Các bài toán về Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Bài 1: (TH) Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ
n
tuổi phát triển bình thường

được cho bởi công thức:

x n n
= + − 75 5 1 . ( )

8

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?
b) Dãy số
( xn )
có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ

phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?
Lời giải

a) Chiều cao của đứa trẻ phát triển bình thường 3 tuổi là:

x cm 3 = + − = 75 5 3 1 85 ( ) .

b) Ta có:
1
(75 5 ) (70 5 ) 5, * n n
x x n n n + − = + − + =  
nên
( xn )
là CSC có công sai
d = 5.
Vậy trung bình mỗi năm chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên
5 cm .
Bài 2: (TH) Nam chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình
vẽ. Tính số que diêm để bạn Nam xếp được tháp có
10
tầng.

Lời giải

Số que diêm ở tầng
1
là
1
u = 3 .

Số que diêm ở tầng
2
là
2
u = 7 .

Số que diêm ở tầng
3
là
3
u =11.

...
Ta có số que diêm của tầng 1, 2, 3,.. là CSC có
1
u = 3 , d = 4,

Vậy
10
tầng cần tổng số que diêm là:

10 1 ( ) ( )
10 2 1 2.3 9.4 210
2 2
n
S u n d = + − = + =    
que.
Bài 3: (VD) Một công ty thực hiện việc trả lương cho các công nhân theo phương thức
sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là
13,5
triệu đồng/ quý, và kể từ

quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm
500.000
đồng mỗi quý. Tính tổng số

tiền lương một công nhân nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

Lời giải

Ta có: 3 năm ứng với 12 quý nên tổng số tiền lương trong ba năm mà một công nhân
nhận được là tổng
12
số hạng đầu tiên của cấp số cộng
(un )
với
1
u =13,5, d = 0,5 .

( ( ) )
12
12 2.13,5 12 1 0,5
195

2

S

+ −
= =

Triệu đồng.
Vậy tổng số tiền lương công nhân được nhận sau ba năm là
195
triệu đồng.

Bài 4: (VD) Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với
15
ghế ngồi ở hàng thứ nhất,
18

ghế ngồi ờ hàng thứ hai,
21
ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau

nhiều hơn
3
ghế so với số ghế ờ hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa

ít nhất
870
ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiều bao nhiêu hàng ghế?

Lời giải

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu
1
u =15
và

công sai
d = 3
. Giả sử cần thiết kế tối thiếu

n n( ) + 

hàng ghế để hội trường có sức chứa

ít nhất
870
ghế ngồi.

9

Ta có:

( 1 ) ( ) 2 2 ( 1) 30 3( 1) 20

870 3 27 1740 0

2 2 29 n
u n d n n n n
S n n

n
+ − + −  
=    + −   
  −

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Để giải quyết bốn bài toán này cần hiểu và nắm vững các kiến thức về dãy số và
cấp số cộng. Bài tập mang tính chất tổng hợp bài 1, 2, chương 2 Toán 11 tập 1 (CTST). Vì
vậy bốn bài toán này có thể dùng xen kẻ giữa việc dạy lý thuyết và thực hành luyện tập sau
khi học xong nội dung bài 2.
Bài 5: (TH) Một tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp thì sau một thời gian
nhất định lại phân đôi một lần. Tính số tế bào sau
12
lần phân chia từ một tế bào ban đầu.

Lời giải

Vì ban đầu có một tế bào và
1
tế bào phân chia thành
2
tế bào nên ta có cấp số nhân với

1
u q = = 1, 2
và
13 u
là số tế bào nhận được sau
12
lần phân chia. Do đó số tế bào nhận

được sau
12
lần phân chia là
12
u13
= = 1.2 4096.

Bài 6: (VD) Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt
20000
đồng, mỗi

lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua
9
lần liên tiếp và thắng ở lần

thứ
10.
Hỏi du khách trên thắng hay thua bao nhiêu? (Biết rằng nếu thắng cược thì người
đó nhận được số tiền bằng với số tiền đặt cược).
Lời giải

Số tiền du khách đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một CSN có
1
u = 20 000

và công

bội
q = 2.
Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là

( )
9
1
9
1
10220000
1
u q
S
q
−
= =
−

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ
10
là
9
10 1 u u q = = . 10240000

Ta có
10 9 u S − =  20 000 0

nên du khách thắng 20 000.

* Để giải quyết hai bài toán 5, 6 này cần hiểu và nắm vững các kiến thức trong nội dung
bài 3: Cấp số nhân, chương 2 Toán 11 tập 1 (CTST). Vì vậy hai bài toán này có thể dùng
xen kẻ giữa việc dạy lý thuyết và luyện tập của bài 3.
Bài 7: (VDC) Có hai cơ sở khoan giếng
A
và
B .

Cơ sở
A
: Giá mét khoan đầu tiên là
80000
đồng một mét và kể từ mét khoan thứ hai,

giá của mỗi mét sau tăng thêm
5000
đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó.

Cơ sở
B
: Giá của mét khoan đầu tiên là
60000
đồng một mét và kể từ mét khoan thứ

hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm
7%
giá của mét khoan ngay trước đó.
Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là
20(m)

và
25(m)
để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở

là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?

Lời giải

Cơ sở giá mét khoan đầu tiên là
80000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi

mét sau tăng thêm
5000
đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Giá khoan giếng

cơ sở này là một CSC với
1
u = 8000 , d =5000
nên:

A

10

+ Nếu khoan giếng
20(m)
hết số tiền là:

20 ( )
20 2.80000 20 1 .5000 2550000
2
S = + − =    
.

+ Nếu khoan giếng
25(m)
hết số tiền là:

25 ( )
25 2.80000 25 1 .5000 3500000
2
S = + − =    
.

Cơ sở Giá của mét khoan đầu tiên là
60000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của

mỗi mét khoan sau tăng thêm
7%
giá của mét khoan ngay trước đó. Giá khoan giếng cơ

sở này là một CSN với
1
u = 6000, q =1,07
nên:

+ Nếu khoan giếng
20(m)
hết số tiền là:

( )
20

20

1 1,07
60000. 2459730
1 1,07

S

−


= 
−

.

+ Nếu khoan giếng
25(m)
hết số tiền là:

( )
25

25

1 1,07
60000. 3794942
1 1,07

S

−


= 
−

.

Ta thấy
20 20 25 25 S S S S     ,

nên khoan giếng
20(m)
chọn cơ sở
B
còn khoan giếng
25(m)

chọn cơ sở
A .

* Để giải quyết bài toán 7 cần phải hiểu và nắm vững các kiến thức tổng thể chương 2
Toán 11 tập 1(CTST). Vì vậy bài toán này có thể dùng để ôn tập cuối chương.
Chủ đề 3: Bài toán về Quan hệ song song trong không gian

Bài 1: (TH) Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình
sau). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích.

Lời giải

Công dụng của thước dẹp là làm cho bề mặt các bức tường được phẳng và nhẵn. Vì
theo tính chất 3 sách giáo khoa toán 11 tập 1 trang 91 (bộ sách CTST) thì thước sẽ
giúp người thợ giữ lại phần hồ thuộc mặt tường và bỏ đi phần hồ không thuộc mặt
tường.
* Bài toán 1 là một ví dụ thực tế mà học sinh có thể dễ dàng trả lời. Bài toán này có thể
đưa vào hoạt động hình thành kiến thức khi tiếp cận đến tính chất thừa nhận 3 trong nội
dung bài 1, chương 3 Toán 11 tập 1 (CTST).
Bài 2: (TH) Trong xây dựng,
khi cần vẽ một đường thẳng
lên tường hoặc xuống nền
nhà, người ta sử dụng một sợi
dây có tẩm mực, cố định hai
đầu sợi dây, kéo sợi dây ra và
thả, sợi dây sẽ để lại dấu trên

B

11

tường hay trên nền nhà một đường thẳng. Hãy giải thích tại sao?

Lời giải

Gọi
A B,
là hai điểm thuộc hai đầu sợi dây mà ta cố định.
C
là điểm trên sợi dây trước

khi ta buông tay, khi đó ba điểm
A B C , ,
tạo thành một mặt phẳng. Khi buông tay, sợi
dây di chuyển trên mặt phẳng này và đi tới tường hoặc nền nhà. Do vậy, khi dừng lại
sợi dây là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ABC)
và tường nhà hoặc nền nhà. Vì vậy sợi

dây sẽ để lại dấu trên tường hay trên nền nhà một đường thẳng.
* Để giải quyết được bài toán 2 học sinh cần nắm vững các tính chất thừa nhận, đặc biệt
là tính chất 5 trong nội dung bài 1, chương 3 Toán 11 tập 1(CTST). Bài toán này có thể
đưa vào hoạt động vận dụng, tìm tòi của bài học khi học xong các tính chất thừa nhận.
Bài 3: (VD) Một chiếc thang được đặt sao cho hai đầu
của chân thang dựa vào tường, hai đầu còn lại nằm trên
sàn nhà (xem hình bên). Biết rằng chiếc thang có dạng
hình chữ nhật, hãy giải thích vì sao hai đầu của chân
thang nằm trên sàn nhà lại cách đều đường chân tường.

Lời giải

Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến cho ba mặt
phẳng: Mặt sàn nhà, mặt chân tường và mặt phẳng tạo
bởi bốn đầu của chân thang. Từ đó suy ra đường thẳng
đi qua hai đầu của chân thang trên sàn nhà song song
với đường chân tường. Vì vậy hai đầu của chân thang nằm trên sàn nhà cách đều đường
chân tường.
* Để giải quyết được bài toán 3 học sinh cần nắm vững các kiến thức trong nội dung bài
2, Toán 11 tập 1 (CTST), đặc biệt là định lí 2. Bài toán có thể dùng trong hoạt động vận
dụng khi dạy bài này.
Bài 4: (TH) Quan sát hình sau. Gọi mặt phẳng
(P)
là mặt
sàn nhà. Hãy nêu tên các đường thẳng không có điểm
chung, có một điểm chung và có vô số điểm chung với
mặt phẳng
(P)
trong hình?
Lời giải

+ Các đường thẳng không có điểm chung với
(P)
:
ab, .

+ Các đường thẳng có một điểm chung với
(P)
:
e .
+ Các đường thẳng có vô số điểm chung với
(P)
:
cd, .
Bài 5: (VD) Quan sát bức tranh sau. Hãy chỉ ra
các đường thẳng trên toà nhà song song với
(P) ,

cắt
(P)
và chứa trong
(P)
(với
(P)
là mặt nước).
(Toà nhà dân cư Sluishuis nằm trôi nổi trên bờ
sông IJ, thành phố Amsterdam, Hà Lan).

e

d

c

b

a

12

Chú ý:
- Dùng bút màu đỏ đồ lên các đường thẳng chứa trong
(P)
;

- Dùng bút màu xanh đồ lên các đường thẳng cắt
(P)
tại 1 điểm;
- Dùng bút màu đen đồ lên các đường thẳng song song với
(P) .

- Mỗi vị trí tương đối chỉ vẽ 4 đường.
* Để giải quyết được bài toán 4, 5 học sinh cần nắm vững các kiến thức trong nội dung
bài 3, Toán 11 tập 1(CTST). Bài toán 4 có thể đưa vào hoạt động khởi động, bài toán 5 có
thể đưa vào hoạt động vận dụng tìm tòi của bài học.
Bài 6: (VD) Một kệ để đồ bằng gỗ có mâm
tầng dưới
( ABCD)
và mâm tầng trên
(EFGH )
song song với nhau. Bác thợ mộc đo được
AE =100 cm, CG =120 cm

và muốn đóng

thêm mâm tầng giữa
(IJKL)
song song với hai

mâm tầng trên, tầng dưới và

EI = 42 cm
. Tính

độ dài đoạn thẳng
KG.
Lời giải

Áp dụng định lý Thales trong không gian,
ta có:

42.120 50,4
100
KG GC KG
EI EA
=  = =
Vậy
KG = 50,4 cm .
* Để giải quyết được bài toán 6 học sinh cần nắm vững các kiến thức trong nội dung
bài 4, Toán 11 (CTST). Bài toán có thể dùng để luyện tập bài 4.
* Đây là một số bài toán minh họa cho việc ứng dụng Hình học không gian vào thực
tiễn khá cụ thể. Chỉ cần hiểu và áp dụng các tính chất, định lí, hệ quả nêu trong các bài
học của Chương 3: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
trong không gian là có thể giải quyết được các bài toán. Các bài toán góp phần tạo hứng
thú cho học sinh, làm cho học sinh thấy được toán học rất gần gủi với các em. Các em
không còn thấy sợ mỗi khi học hình nữa.
2.4. Một số gợi ý về phương pháp dạy học sử dụng bài tập đã được hệ thống
Hệ thống bài tập được xem là cơ sở quan trọng trong việc lồng ghép những bài toán
thực tiễn vào dạy học. Tuỳ vào từng chương, từng bài hay từng mục, từng chi tiết cụ thể
mà ta có kế hoạch dạy học, rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học
vào thực tiễn một cách phù hợp nhất. Những bài toán trong hệ thống bài tập có thể chỉ vận
dụng vào bài dạy mang tính chất điểm tựa, để bài dạy thêm sinh động, tận dụng được nhiều
cơ hội liên hệ thực tế hơn. Trong nhiều trường hợp ta cần sáng tạo thêm một số bài toán
khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát thực đời sống thực tế hơn nhưng không phức tạp trong
việc giải chúng. Cụ thể khi sử dụng và giảng dạy Hệ thống bài tập cần chú ý những điểm
sau đây:
Thứ nhất: Về việc khai thác Hệ thống bài tập trong giảng dạy
Mặc dù hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được lựa chọn, cân nhắc một cách thận
trọng về nội dung cũng như hình thức và số lượng theo từng chủ đề kiến thức Toán trong

13

chương trình THPT nhưng trong quá trình giảng dạy cần chú ý vận dụng linh hoạt vào từng
trường hợp cụ thể, chẳng hạn:
+) Đối với học sinh trung bình, yếu ta cần bổ sung những bài toán ở mức độ thấp hơn
những bài tập trong Hệ thống hoặc sử dụng vừa phải những bài tập này có sự chỉ dẫn, gợi
ý giúp các em hoàn thành được bài tập ở nhà.
+) Đối với những học sinh khá, giỏi ta có thể lựa chọn những bài tập nâng cao, ra nhiều
bài tập về nhà hơn so với học sinh khác.
Thứ hai: Về việc lựa chọn thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng
dạy
Tuỳ thuộc vào từng bài, từng chương mà ta đưa bài toán có nội dung thực tiễn vào thời
điểm nào là phù hợp. Có thể đưa vào bài toán có nội dung thực tiễn vào hoạt động khởi
động (hay đặt vấn đề), khi khai thác các ví dụ và tình huống thực tế trong xây dựng và củng
cố kiến thức, thay thế bổ sung các ví dụ hoặc thay thế bổ sung bài tập trong SGK và đặc
biệt, cần thực hiện những buổi ngoại khóa ứng dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn phù
hợp với tính chất, trình độ của học sinh cũng như cơ sở vật chất hiện tại.
Thứ ba: Về phương pháp giảng dạy bài toán có nội dung thực tiễn
Trong giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn, cần chú ý vận dụng linh hoạt các
bước giải một bài toán có nội dung thực tế:
Bước1: Chuyển bài toán thực tế về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết toán học
dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán);
Bước 2: Giải bài toán trong khuôn khổ của lý thuyết toán học;
Bước 3: Chuyển kết quả của lời giải Toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế.
Trong ba bước trên, Bước 1 thường là bước quan trọng nhất. Để tiến hành được bước
này, điều quan trọng là tập luyện cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong những
mối liên hệ với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở
đó có thể biểu thị được đại lượng này qua đại lượng khác.
2.5. Tổ chức thực nghiệm
a) Công tác chuẩn bị
Để tiến hành thực nghiệm có hiệu quả, tôi đã tiến hành nghiên cứu kỹ nội dung, Chương
trình, sách giáo khoa, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, ... và khảo sát tình hình thực tế việc dạy
học ứng dụng Toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 11. Tài liệu thực nghiệm được đưa
ra tham khảo ý kiến nhiều giáo viên có kinh nghiệm.
Tài liệu thực nghiệm
Gồm các bài toán có nội dung thực tiễn mà tác giả đã lựa chọn, sắp xếp, hệ thống hóa,
bổ sung theo ý tưởng của đề tài, được biên soạn thành các giáo án lên lớp theo phân phối
chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Khi xây dựng các giáo án thực nghiệm tôi chú
ý tới:
- Lựa chọn thời điểm cụ thể đưa bài toán thực tiễn vào giảng dạy cho học sinh;
- Xác định quỹ thời gian thích hợp dành cho bài toán thực tiễn và sử dụng hợp lý quỹ
thời gian đó;
- Các gợi ý về phương pháp dạy học sử dụng hệ thống bài tập đã được xây dựng;

14

- Phối hợp chặt chẽ, linh hoạt, mềm dẻo giữa các nội dung khác của bài dạy với việc
dạy học các bài toán có nội dung thực tiễn.
b) Một số kết quả định lượng
Việc phân tích định lượng dựa vào kết quả kiểm tra trong đợt thực nghiệm tại hai lớp
thực hiện sáng kiến và 1 lớp chưa áp dụng sáng kiến mà bản thân đang trực tiếp giảng dạy
để thực nghiệm và đối chứng, nhằm minh họa và bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu
quả của việc lựa chọn hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
3. Đánh giá về tính mới sáng kiến tạo ra
3.1. Tính mới
+ Đây là một số kinh nghiệm được tổng hợp của bản thân nhằm giúp học sinh và giáo
viên đang giảng dạy môn toán khối 11 có thêm tài liệu hữu ích để tham khảo. Sáng kiến viết
theo hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triễn năng lực và phẩm chất, bám
sát yêu cầu cần đạt của chương trình giáo dục THPT 2018, đáp ứng được yêu cầu hiện tại.
+ Sau khi áp dụng tài liệu vào việc dạy và học trong chương trình Toán 11 học kì 1,
bước đầu tôi đã thấy những kết quả khả quan, học sinh khá là hứng thú và tập trung hơn
trong giờ học, nâng cao khả năng tự học cũng như khả năng tư duy.
+ Học sinh phát huy được tính sáng tạo cao. Ham tìm tòi, khám phá thêm nhiều bài
toán và ứng dụng thực tế nâng cao chất lượng học tập, khả năng tự học hỏi của bản thân.
3.2. Hiệu quả áp dụng của sáng kiến
Về bản thân giáo viên:
- Phát huy tính tự học theo hướng phát triển năng lực cho học sinh. Nâng cao khả năng
truyền đạt, cùng học, cùng tìm tòi, khám phá những kiến thức mới.
- Giúp việc dạy học có hiệu quả, giáo viên và học sinh đều ham muốn học hỏi, nâng
cao trình độ chuyên môn.
Về cá nhân học sinh:
- Tạo được khả năng tìm tòi phát hiện kiến thức mới, nắm lý thuyết tốt hơn. Sử dụng
linh hoạt các kiến thức được học vào giải quyết tốt các tình huống thực tiễn trong giờ học
môn Toán và một số môn khác.
- Giúp các em đam mê và yêu thích Toán học hơn, các em có cái nhìn khác về Toán,
không còn thấy khô khan mà thay vào đó giờ học trở nên sôi nổi và vui vẻ hơn. Từ đó mà
chất lượng các bài kiểm tra của các em được cải thiện đáng kể.
- Học sinh yếu nắm lý thuyết nhanh và nhớ lâu. Không còn lúng túng khi làm bài tập.
Về kết quả thực tế trong giảng dạy của bản thân tôi:
Năm học 2023- 2024 tôi đã sử dụng sáng kiến để kiểm nghiệm tính hiệu quả của sáng
kiến trên 3 lớp 11A3, 11C và 11D1. Trong đó, lớp 11A3 và lớp 11C được áp dụng sáng
kiến, lớp 11 D1 không được áp dụng sáng kiến. Kết quả được minh chứng thông qua bài
kiểm tra thường xuyên số 1 chương 1: Hàm số lượng giác- Phương trình lượng giác; Bài
kiểm tra thường xuyên số 2 chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân như sau:

ĐỀ KIỂM TRA THƯỜNG XUYÊN SỐ 1

Thời gian: 30 phút

15
Câu 1: (2 điểm) Tìm tập xác định của hàm số

tan 2
6
y x
  
= −    
.

Câu 2: (6 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
1
sin
2
x =
; b)

cos 30 sin 40 ( x −  =  )
;

c)
3tan 3 0
2
  x
  − =
 

; d)

2
cos 3 2sin 1
6
x x
  
  − + =  
.

Câu 3: (2 điểm) Trong một buổi biểu diễn xiếc, người nghệ sĩ đạp xe theo mép của một
sân khấu hình tròn có bán kính
R = 5m
. Sau một lúc từ khi bắt đầu đạp thì xe giữ được vận

tốc không đổi là
300m
trong 1 phút. Hỏi tính từ khi vận tốc không đổi nghệ sĩ xiếc đạp xe

được góc
120
(góc nhìn tâm sân khấu) hết bao nhiêu thời gian?
ĐỀ KIỂM TRA THƯỜNG XUYÊN SỐ 2

Thời gian: 20 phút

Câu 1: (7 điểm) Cho Cấp số cộng
( )
n
u
biết
1
u d = = 10, 5

a) Viết công thức của số hạng tổng quát
n
u
;

b) Tính
10 u ,
50 u ,
30 S
;

c) Hỏi số 40 là số hạng thứ bao nhiêu của cáp số cộng;
d) Hỏi số 325 là tổng của bao nhêu số hạng đầu của cấp số cộng.
Câu 2: (2 điểm) Tình nhanh tổng sau:

2 3 19 S1 = + + + + + 1 3 3 3 ... 3
;

Câu 3: (1 điểm) Một loại vi khuẩn được nuôi cấy trong ống nghiệm, Cứ 10 phút lại phân
đôi một lần. Cho biết ban đầu trong ống nghiệm có 20 vi khuẩn, tính số lượng vi khuẩn
trong ống nghiệm sau 3 giờ?
Kết quả cho thấy

Tỉ lệ học sinh làm được câu 3 (Bài toán thực tế)

Lớp giảng dạy 11D1 (37 HS)
(Chưa áp dụng SK)

11A3 và 11C (74 HS)
(Đã áp dụng SK)

BÀI KIỂM TRA
THƯỜNG XUYÊN SỐ 1 3 học sinh chiếm 8,1% 30 học sinh chiếm 40,5 %
BÀI KIỂM TRA
THƯỜNG XUYÊN SỐ 2 4 học sinh chiếm 10,8% 52 học sinh chiếm 70,2%

Tỉ lệ chất lượng các bài kiểm tra
Bài kiểm tra thường xuyên số 1

Lớp/Tổng số HS

Giỏi Khá TB Yếu, kém
SL TL SL TL SL TL SL TL
11A3 và 11C/74 32 43,3% 24 32,4% 16 21,6% 2 2,7%
11D1/37 4 10,8% 9 24,4% 16 43,2% 8 21,6%

Bài kiểm tra thường xuyên số 2

Lớp/Tổng số HS

Giỏi Khá TB Yếu, kém
SL TL SL TL SL TL SL TL

16

11A3 và 11C/74 34 45,9% 24 32,4% 15 20,3% 1 1,4%
11D1/37 5 13,5% 8 21,6% 17 46% 7 18,9%
3.3. Khả năng áp dụng của sáng kiến
Sáng kiến này đã được bản thân tôi áp dụng thử nhằm kiểm nghiệm tính hiệu quả trong
việc dạy và học trong học kì 1 năm học 2023-2024, tại lớp 11A3 trường THPT Đoàn Kết.
Lĩnh vực sáng kiến áp dụng: Trong công tác dạy học khối 11 THPT
Phạm vi áp dụng: Áp dụng rộng rãi trong các trường THPT.

KẾT LUẬN

1. Bài học kinh nghiệm
Sáng kiến được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết
kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, về cơ bản sáng kiến đã đạt được các mục tiêu đề ra. Mục
đích của sáng kiến này giúp học sinh hiểu rõ rằng toán học xuất phát từ thực tiễn, học toán
để giải quyết các bài toán thực tế, toán học không những giúp các em phát triễn tư duy mà
nó còn rất thực tế góp phần xây dựng kinh tế và hoàn thiện công việc một cách tối ưu nhất.
Từ đó các em nhận ra được tầm quan trọng của bộ môn toán và yêu thích môn học này.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên chắc hẳn sáng kiến còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận
được sự góp ý từ quý Thầy cô.
2. Kiến nghị đề xuất
Do thời gian có hạn nên sáng kiến chỉ đề cập 21 bài toán thực tế xây dựng trên 3 chủ
đề vận dụng cho 3 chương học gồm: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng
giác; Chương 2: Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân; Chương 4: Đường thẳng và mặt
phẳng - Quan hệ song song trong không gian trong môn Toán 11 học kì 1 (Bộ sách CTST).
Sáng kiến có thể nghiên cứu mở rộng cho các chương học còn lại của môn Toán 11.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo - NXB Giáo dục.
2. Sách Bài tập Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo - NXB Giáo dục.
3. Sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Cánh diều - NXB Giáo dục.
4. Sách Bài tập Toán 11 tập 1- Cánh diều - NXB Giáo dục.
5. Sách giáo khoa Toán 11 tập 1- Kết nối tri thức - NXB Giáo dục.
6. Sách Bài tập Toán 11 tập 1- Kết nối tri thức - NXB Giáo dục.
7. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ - NXB Giáo dục.
8. Chuyên đề toán thực tế dành cho học sinh THPT- Siêu tầm trên Internet.

PHỤ LỤC

Trích dẫn giáo án một trong số tiết dạy trên lớp mà Tôi thấy các bài toán thực tế đã
góp phần làm cho tiết học khá sôi động, học sinh hứng thú, tích cực, hiểu bài...Tiết học
được đồng nghiệp đánh giá rất cao.
Trường THPT Đoàn Kết HỘI GIẢNG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2023-2024
Tổ Toán- Tin Môn : Toán 11- lớp 11A3
Gv: Phạm Thị Hoa Ngày dạy: 18/11/2023

KẾ HOẠCH BÀI DẠY

BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Thời gian thực hiện: (3 tiết)
PPCT: Tiết 35

I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
- Nêu được các định nghĩa và các dấu hiệu nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng
và mặt phẳng bao gồm: đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng cắt mặt
phẳng và đường thẳng chứa trong mặt phẳng.
- Biết sử dụng định lý về điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng để chứng
minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
2. Năng lực
- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để
giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.
- Năng lực mô hình hóa toán học: Mô tả được các hình ảnh giữa đường thẳng và
mặt phẳng song song trong thực tế thông qua hình vẽ không gian.
- Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng
thuyết trình.
- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá
và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai
sót.
- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động
nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.
- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra
ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ, kí hiệu
Toán học.
3. Phẩm chất
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và
hệ thống.
- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách
nhiệm hợp tác xây dựng cao.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn
của GV.

- Năng động, trung thực, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, biết quy lạ về
quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU
GV chuẩn bị, các thiết bị đồ dùng học tập gồm:
- Tranh ảnh, thước thẳng, bảng phụ, bút lông 3 màu, ....
- Máy tính, màn hình tivi.
- Yêu cầu học sinh đọc và tìm hiểu trước nội dung bài học ở nhà.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

TIẾT 1

1. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
a. Mục tiêu
- HS xác định được số các giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng trong các trường
hợp.
- HS tiếp cận kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng thông qua hình ảnh
thực tế.
b. Nội dung
HS quan sát hình sau (qua máy chiếu ) và trả lời câu hỏi GV .

Câu hỏi: Gọi mặt phẳng
(P)
là mặt sàn nhà. Hãy nêu tên các đường thẳng không có

điểm chung, có một điểm chung và có vô số điểm chung với mặt phẳng
(P)
trong hình

trên?
c. Sản phẩm
- Câu trả lời của học sinh.
d. Cách thức tổ chức

e

d

c

b

a

Chuyển giao - GV nêu câu hỏi, yêu cầu HS suy nghỉ trả lời câu hỏi.
Thực hiện - HS suy nghĩ độc lập.

Báo cáo thảo
luận

- GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trình bày câu trả lời của mình.
- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.
Mong đợi đáp án
+ Các đường thẳng không có điểm chung với
(P)
:
ab, .

+ Các đường thẳng có một điểm chung với
(P)
:
e .
+ Các đường thẳng có vô số điểm chung với
(P)
:
cd, .

Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tổng hợp kết quả.
- Dẫn dắc vào bài mới.
+ Cho đường thẳng và mặt phẳng bất kì có bao nhiêu điểm chung?
+ Trường hợp đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung thì
được gọi là gì? Các tính chất của chúng như thế nào? Đó là nội dung
chúng ta cần tìm hiểu trong tiết học hôm nay.

2. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI VÀ LUYỆN TẬP
2.1. Đường thẳng song song với mặt phẳng.
2.1.1. Hình thành kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, đường
thẳng song song với mặt phẳng.
a) Mục tiêu:
- Biết được các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng và định nghĩa đường thẳng
song song với mặt phẳng.
Từ hoạt khởi động GV hình thành kiến thức vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng;
Định nghĩa đường thẳng sông song với mặt phẳng.
b) Nội dung:
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Cho đường thẳng
a
và mặt phẳng
( ) P
, khi đó có thể xảy ra ba trường hợp sau:

- Trường hợp 1:
a
và
( ) P
có từ hai điểm chung phân biệt trở lên (Hình 2a ), suy ra mọi

điểm thuộc
a
đều thuộc
( ) P
, ta nói
a
nằm trong
( ) P
, kí hiệu
a P  ( ).

- Trường hợp 2:
a
và
( ) P
có một điểm chung duy nhất
A
(Hình 2b ), ta nói a cắt
( ) P

tại
A
, kí hiệu
a P A  = ( ) .
- Trường hợp 3:
a
và
( ) P
không có điểm chung nào (Hình 2c ), ta nói
a
song song với

( ) P
, kí hiệu
a P //( ).

Định nghĩa: Đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
(P)
nếu chúng không có điểm

chung.
c) Sản phẩm:
- Hình thành kiến thức vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, định nghĩa đường
thẳng song song với mặt phẳng
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao Quay lại hoạt động khởi động
Thực hiện

- Giáo viên giới thiệu kiến thức mới từ hoạt động khởi
động.
- Học sinh chú ý lắng nghe và ghi nhận kiến thức.

Báo cáo thảo luận

- Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
- Định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng.

Đánh giá, nhận xét, tổng

hợp

- Giáo viên chốt kiến thức .

2.1.2. Luyện tập xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
a) Mục tiêu:
- Biết xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp đơn giản.
b) Nội dung:
Ví dụ 1: Cho
E
và
F
lần lượt là trung điểm của cạnh
AB
và
AC
của tứ diện
ABCD
. Xác

định vị trí tương đối của các đường thẳng
BC, AD
và
EF
với mặt phẳng
(BCD) .

c) Sản phẩm:
- Rèn luyện kĩ năng xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
- Bài làm của học sinh.
d) Tổ chức thực hiện:

Chuyển
giao

- GV nêu vấn đề
- HS hoạt động theo nhóm cụ thể:
+ Nhóm 1,2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng
BC
và
AD
với mặt

phẳng
(BCD)
+ Nhóm 3,4: Xét vị trí tương đối của đường thẳng
EF
với mặt phẳng

(BCD)

Thực
hiện

- HS làm việc theo nhóm tìm ra câu trả lời trình bày vào bảng phụ.
- Mong đợi đáp án:
+ Đường thẳng
BC
có 2 điểm chung
B
và
C
với mặt phẳng
(BCD)
, suy

ra
BC BCD  ( ) .

+ Đường thẳng
AD
có 1 điểm chung duy nhất
D
với mặt phẳng
(BCD) ,

suy ra
AD
cắt
(BCD)
tại
D
(hay
AD BCD D  = ( )
).

+ Ta có
EF
không có điểm chung với
(BCD)
, suy ra
EF BCD ( ).

Thật vậy, nếu
EF
có điểm chung
M
với
(BCD)
thì
M BCD ABC   ( ) ( )

  M BC
Suy ra,
EF
cắt
BC
tại
M
(mâu thuẫn với giả thiết
EF BC)

Vậy
EF BCD ( ).

Báo cáo
thảo luận

+ GV thu kết quả của các nhóm lại và treo trước lớp.
+ Cho các nhóm nhận xét lẫn nhau.

Đánh giá,
nhận xét,
tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo .
- Chốt kiến thức.

2.2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng.
2.2.1. Hình thành kiến thức định lí 1 (Điều kiện để đường thẳng song song với mặt
phẳng)
a) Mục tiêu
- Biết phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
b) Nội dung:
Định lý 1: Nếu đường thẳng
a
không nằm trong mặt phẳng
(P)
mà song song với đường

thẳng
b
nào đó nằm trong mặt phẳng
(P)
thì
a
song song với
(P) .

Chú ý: Muốn chứng minh
a P( )
ta phải chứng minh

( )
( )
a P
a b b P
 


maø 
.

c) Sản phẩm:
- Câu trả lời của học sinh.
- Hình thành kiến thức định lý 1
d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

Bài toán 1: Cho đường thẳng
a
không nằm trong mặt phẳng
(P)
và

a
song song với đường thẳng
b
nằm

trong mặt phẳng
(P)
. Đặt
(Q)
= mp

(a b; ).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(P)
và
(Q)
b) Giả sử
a
có điểm chung
M
với mặt phẳng
(P)
thì điểm
M
phải nằm

trên đường thẳng nào? Điều này có trái với giả thiết
a b
không?

Thực hiện

- Giáo viên nêu vấn đề yêu cầu học sinh suy nghĩ (có thể trao đổi với
bạn bên cạnh) tìm ra câu trả lời trình bày vào giấy nháp.
- GV gọi lần lượt 2 HS đứng tại chỗ trả lời câu a và câu b.
- Mong đợi đáp án:
a)
(P Q b )  = ( ) .
b) Ta có:

a P M M P Q  =    ( ) ( ) ( )
nên
M b  .

Suy ra
M
là giao điểm của
a
và
b
(mâu thuẩn với giả thiết
a b
).

Báo cáo thảo
luận

- Hai HS được gọi lần lượt đứng tại chỗ trả lời.
- Các học sinh khác trong nhóm nhận xét và bổ sung (nếu cần)
- Học sinh thảo luận và rút ra được kết quả: Muốn chứng minh một
đường thẳng song song với một mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng
đó song song với một đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng.

Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất.
- GV Chốt kiến thức.

2.2.2. Luyện tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
a. Mục tiêu:
- Biết sử dụng điều kiện đường song song với mặt để chứng minh đường thẳng song song
với mặt phẳng
b. Nội dung:
Ví dụ 2: Cho tứ diện
ABCD
có
M N P , ,
lần lượt là trung điểm của

AB AC AD , ,
. Chứng

minh các đường thẳng

MN , NP, MP

lần lượt song song với mặt phẳng
(BCD) .

c) Sản phẩm: Bài làm của học sinh
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao - GV nêu nội dung bài toán.

- GV giao việc cho lớp yêu cầu HS độc lập suy nghỉ tòm ra câu trả lời

Thực hiện

- HS làm việc độc lập có thể trao đổi với các bạn bên cạnh tìm ra câu
trả lời trình bày vào giấy nháp.
- Gọi 1 HS lên bảng trình bày.
- Mong đợi đáp án:

+ Trong
( ABC), MN

là đường trung bình

của
ABC
suy ra
MN BC .

Ta có:
( )

( )

( )

MN BCD

MN BCD

MN BC BCD
 
 
 maø BC 

.
+ Tương tự như trên ta chứng minh được
NP BCD ( )
và
MP BCD ( ) .

Báo cáo thảo
luận

- HS được gọi lên bảng trình bày.
- Các học sinh khác trong lớp nhận xét và bổ xung (nếu cần).

Đánh giá,
nhận xét, tổng
hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, bài làm của học sinh
- Trên cơ sở đó GV chốt phương pháp chứng minh đường song song với
mặt.

3. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI VÀ MỞ RỘNG KIẾN THỨC
a) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng vào
giải quyết các bài toán thực tiễn
b) Nội dung:
Tổ chức trò chơi thông qua giải quyết bài tập ví dụ 3
Ví dụ 3: Quan sát bức tranh sau. Hãy chỉ ra các đường thẳng trên toà nhà song song với
(P)
, cắt
(P)
và chứa trong
(P)
với
(P)
là mặt nước).

Chú ý:
- Dùng bút màu đỏ đồ lên các đường thẳng chứa trong
(P)
;

- Dùng bút màu xanh đồ lên các đường thẳng cắt
(P)
tại 1 điểm;
- Dùng bút màu đen đồ lên các đường thẳng song song với
(P) .

- Mỗi vị trí tương đối chỉ vẽ 4 đường.

Toà nhà dân cư Sluishuis nằm trôi nổi trên bờ sông IJ, thành phố Amsterdam, Hà
c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày của 4 nhóm học sinh
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao

- GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát mỗi nhóm 1 bức ảnh được in
màu sẵn trên giấy A3..
- GV triển khai luật chơi. Đồ trực tiếp đường thẳng xác định được
vào tranh theo màu quy định. Thời gian thực hiện 2 phút. Chú ý

các thành viên trong nhóm sẽ thay phiên nhau xác định và đồ
đường thẳng mà mình xác định được. Xoay vòng cho đến khi hết
thời gian quy định. Nếu nhóm nào xong trước sẽ bấm chuông nộp
bài. Nhóm nào hoàn thành đúng và sớm nhất sẽ giành chiến thắng
trong trò chơi này và được cộng 0.5 điểm cho mỗi thành viên.
- HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

- Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu đưa ra quyết định
đúng.
Báo cáo thảo luận

- Giáo viên chụp sản phẩm của các nhóm, trình chiếu, nhận xét và
đưa ra kết quả.

Đánh giá, nhận
xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học
sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.
- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.
- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học.

CỦNG CỐ BÀI HỌC
a) Mục đích: Ghi nhớ kiến thức vị trí tương đối của đường thẳng trong mặt phẳng ; Điều
kiện đường song song với mặt.
b) Nội dung: Biết xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng và vận dụng vào thực
tế.. Biết chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
c) Yêu cầu : Hoàn thành các bài 1a), bài 2a), bài 6 trong SGK. Chuẩn bị nội dung còn lại
của bài học.
Câu 1: Cho đường thẳng
a
và mặt phẳng
(P)
bất kì? Có bao nhiêu vị trí tương đối có thể

xảy ra giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
(P)
?

A.
1. B.

2 . C.

3 . D.
4 .

Câu 2: Cho đường thẳng
a
song song với mặt phẳng
(P)
. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
a
và
(P)
có một điểm chung. B.
a
và
(P)
có hai điểm chung.

C.
a
và
(P)
có một vô số điểm chung. D.
a
và
(P)
không có điểm chung.
Câu 3: Trong các khẳng định sau khẳng đinh nào là “điều kiện để đường thẳng
a
song

song với mặt phẳng
( )
?

A.
a
song song với đường thẳng
b
chứa trong
( ) .

B.
a
không có điểm chung với
( ) .

C.
a
không chứa trong
( )
và song song với đường thẳng
b
chứa trong
( ) .

D.
a
chứa trong
( ) .

Câu 3: Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào kết luận đường thẳng
a
song song với mặt

phẳng
( )
?
A.
a b //
và
b  ( ) . B.
a // ( )
và
(  ) // ( ).

C.
a b //
và
b // ( ) . D.

a  =  ( ) .